( هي طريقه لايجاد القيمه العظمى او الصغرى لداله تحت قيود معينه كل منها عباره عن متباينه خطيه )
إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة تحت قيود خطية
مقدمة
في الرياضيات، غالبًا ما تواجه مشاكل تتطلب العثور على القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ضمن مجموعة من القيود. تُعرف هذه المشكلات باسم البرمجة الخطية. تتضمن إحدى أكثر الطرق شيوعًا لحل هذه المشكلات استخدام متباينات خطية لتمثيل القيود.
صياغة المشكلة
لتوضيح طريقة إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة تحت قيود خطية، دعنا نعتبر المشكلة التالية:
إيجاد القيم العظمى والصغرى للدالة f(x, y) = x + y ضمن القيود التالية:
x + 2y ≤ 6
2x + y ≤ 8
x ≥ 0
y ≥ 0
رسم القيود
الخطوة الأولى هي رسم القيود على مستوى الإحداثيات. يمثل كل متباينة خطًا أو خط نصف مستوي يقسم المستوى إلى منطقتين: المنطقة التي تلبي المتباينة والمنطقة التي لا تفعل ذلك.
بالنسبة للمتباينة x + 2y ≤ 6، يكون الخط الذي يمثل المتباينة هو x + 2y = 6. نظرًا لأن المتباينة هي متباينة “أقل من أو يساوي”، فإن المنطقة التي تقع أسفل الخط تلبي المتباينة.
بنفس الطريقة، يمكنك رسم القيود الأخرى وتحليل مناطق الحل الممكن.
إيجاد نقاط الزاوية
نقاط الزاوية هي تقاطعات خطوط القيود. تمثل هذه النقاط قيم المتغيرات التي تلبي جميع القيود.
بالنسبة للمشكلة المحددة، فإن نقاط الزاوية هي:
(0, 0)
(0, 4)
(2, 2)
(6, 0)
تقييم الدالة في نقاط الزاوية
الخطوة التالية هي تقييم الدالة f(x, y) عند نقاط الزاوية. تمثل قيم الدالة في نقاط الزاوية القيم العظمى والصغرى المحتملة.
بالنسبة للمشكلة المحددة، فإن قيم الدالة في نقاط الزاوية هي:
f(0, 0) = 0
f(0, 4) = 4
f(2, 2) = 4
f(6, 0) = 6
إيجاد القيمة العظمى والصغرى
القيم العظمى والصغرى هي أكبر وأصغر قيمة للدالة ضمن القيود، على التوالي.
بالنسبة للمشكلة المحددة، تكون القيمة العظمى هي 6 عند (6, 0) والقيمة الصغرى هي 0 عند (0, 0).
الخلاصة
تعتبر طريقة إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ضمن قيود خطية أداة قوية لحل المشكلات في مجالات مختلفة، بما في ذلك الاقتصاد والتخطيط والدراسات المالية. من خلال استخدام متباينات خطية ورسم القيود وتقييم الدالة عند نقاط الزاوية، يمكنك تحديد القيم العظمى والصغرى التي تلبي جميع القيود.