١، ٣، ٧، ١٥،…،
سلسلة الأعداد 1، 3، 7، 15، …
مقدمة
سلسلة الأعداد 1، 3، 7، 15، … هي سلسلة هندسية حيث يكون كل عدد هو ضعف العدد السابق. وغالبا ما تسمى هذه السلسلة بالمتتالية الهندسية.
الخصائص
جميع أعداد المتتالية فردية.
كل عدد في المتتالية يساوي حاصل جمع الأعداد الفردية السابقة.
جداء أي عددين متواليين في المتتالية يساوي ضعف العدد التالي.
التطبيقات
يستخدم المتتالية الهندسية في العديد من التطبيقات، بما في ذلك:
النمو السكاني: حيث يمكن نمذجة نمو عدد السكان باستخدام متتالية هندسية.
الانحلال الإشعاعي: حيث يمكن نمذجة اضمحلال العناصر المشعة باستخدام متتالية هندسية.
الفائدة المركبة: حيث يمكن حساب الفائدة المركبة على الودائع باستخدام متتالية هندسية.
الأعداد الأولية
الأعداد الأولية هي أعداد طبيعية أكبر من 1 لا يمكن قسمتها إلا على نفسها وعلى 1. وقد أثبت ليونارد أويلر أن المتتالية الهندسية لا تحتوي على أعداد أولية أكبر من 3.
مبرهنة فيرما
تنص مبرهنة فيرما على أنه إذا كان a عددًا طبيعيًا موجبًا أكبر من 2، فإن المتتالية الهندسية a، a2، a3، … لن تحتوي على عدد أولي.
التعميمات
يمكن تعميم المتتالية الهندسية من خلال السماح للنسبة المشتركة بأن تكون أي عدد حقيقي موجب. على سبيل المثال، المتتالية 1، 2، 4، 8، … هي متتالية هندسية بنسبة مشتركة 2.
الخاتمة
سلسلة الأعداد 1، 3، 7، 15، … هي متتالية هندسية فريدة ذات العديد من الخصائص والتطبيقات المثيرة للاهتمام. وقد تم دراستها على نطاق واسع من قبل علماء الرياضيات على مر القرون.